Themen:

Die Theorie der endlichen Gruppen beginnt mit wenigen Axiomen, die nicht überraschend sind. Sie beschreiben die Rechenregeln von Zahlen ebenso wie von Symmetrien. Versucht man, nur aus den Axiomen die Eigenschaften einer beliebigen Gruppen zu verstehen, vielleicht sogar alle möglichen Gruppen zu finden, so entwickelt sich eine reichhaltige Theorie, die heute viele Bereiche der modernen Mathematik und Physik durchdringt. Wir diskutieren an diesem wunderschönen elementaren Beispiel, wie Theoriebildung und Klassifikation in der reinen Mathematik funktioniert, und sehen überraschende  Beispiele im schulisch zugänglichen Kontext, in dem die Gruppentheorie ihr Gesicht zeigt.

Die genauere Themenliste folgt unten.

Voraussetzung:

Für die meisten Vorträge genügt Lineare Algebra I 

Zeit:

Das Seminar findet statt am Montag 10:15-11:45 in Raum 415.

Am ersten Termin 9.4. wird das Thema und die Vortragsthemen vorgestellt

Am zweiten Termin 16.4. werden gemeinsam elementare Beispiele geübt.

Scheinkriterien:

Regelmäßige Teilnahme am Seminar wird erwartet.

Alle Teilnehmer/Innen erhalten ein Thema, das dann selbstständig vorbereitet wird und typischerweise einen kurzen Theorie-Teil und eine Übung/Beispiel enthält. Kalkulieren Sie etwa 1h Tafelvortrag.

Ich erwarte ein (handgeschriebenes) Manuskript Ihres Vortrags jeweils eine Woche vor dem geplanten Vortragstermin (Montag) per Email, ich stehe bei Fragen selbstverständlich gerne für Sie zur Verfügung.

Literatur:

Gute kompakte Literatur sind "Kurzweil: Theorie der endlichen Gruppen" oder "Alperin: Groups and Representations", die Themen werden aber in der Regel in allen Büchern über Gruppentheorie behandelt.

Themen:
(in Klammern Name und frühest geplanter Vortragstermin dh. Manuskript eine Woche vorher. Der Vortrag kann aber je nach Fortgang des Seminars auch 1-2 Wochen später stattfinden):

• (Einführung, Vortragsvergabe, Lentner, 9.4.) Gruppenaxiome, Beispiele.
  Einführungsvortrag als pdf.
  
• (Präsenz-Übungen, Flandoli, 16.4.): Nachprüfen der Gruppenaxiome, Beispiele, Gruppentafeln, Ordnung, Rechnen modulo n, Rechnen mit Zykel.
• Permutationsgruppe (Rehbock, 23.4.): Definition der Gruppe der n-Permutationen Sn und der geraden n-Permutationen (warum ist das eine Gruppe?). Überlegen Sie, was die Ordnung eines allgemeinen Elements in Zykelschreibweise ist. Beweisen Sie dass beim Fünfzehnerspiel (siehe Wikipedia) höchstens die Hälfte der Stellungen erreichbar sind . Überlegen Sie, warum beim Rubick-Cube höchstens die Hälfte der Positionen der kleinen Würfel erreichbar sind (hier ohne Berücksichtigung, wie diese kleinen Würfel jeweils gedreht sind)
• Untergruppen der S4 (Kestel, 23.4): Finden Sie die Symmetriegruppen eines gleichseitigen Dreiecks und die eines Quadrats. Definition der dihedralen Gruppe D4 und allgemeiner Dn (wie beweist man die Anzahl der Elemente?). Finden Sie alle Untergruppen der Gruppe S4, dh. alle Gruppen von Permutationen von 4 Objekten.
• Zentrum und Konjugationsklassen (Haiker, 30.4.): Definition des Zentrums einer Gruppe, von Konjugation, Konjugationsklassen und Zentralisator. Als Beispiel diskutieren Sie all diese Begriffe für abelsche Gruppen, S3, S4, D4. Beweis, dass die Zykel-Zerlegung genau die Konjugationsklassen der Sn ergibt. Vergleichen Sie die Konjugationsklassen der S3 mit den Konjugationsklassen der A3. 
• Quotienten (Novikova, 7.5.): Definition von Gruppenhomomorphismus, Kern, Bild, Normalteiler, Quotientengruppe. Finden Sie als Beispiel Quotienten der Gruppen Z6, D4, S4. Erwähnen Sie die Menge der Nebenklassen für eine beliebige Untergruppe U und dass damit die Anzahl von U die von G teilt.
• Automorphismen (Süling, 7.5.): Definition von Gruppen-Automorphismus. Beweis dass Konjugationen Automorphismen ergeben, und dass diese eine Untergruppe der Automorphismengruppe bilden (sogenannte innere Automorphismen). Finden Sie als Beispiel die Automorphismengruppen von Z3, Z4, Zn, S3, D4. Sagen Sie etwas zur Automorphismengruppe von Sn und An.
• Permutationsdarstellungen (Abmayr, 14.5.): Definition von Permutationsdarstellung, Stabilisator, Orbit. Beweis des Orbit-Stabilisator-Theorem. Behandeln Sie als Beispiel Orbit und Stabilisatoren der Wirkung von D4 auf den vier Ecken des Quadrats und finden Sie ein Beispiel einer Symmetriegruppe mit unterschiedlich großen Stabilisatoren. Diskutieren Sie zwei Permutationsdarstellungen, die es für jede Gruppe gibt: Reguläre Wirkung und Konjugationswirkung auf der Gruppe selbst.
• Produkte (Burchard, 28.5.): Definition direktes und semidirektes Produkt von Gruppen. Beweis, dass jede Gruppe mit Projektion in ein semidirektes Produkt zerfällt. Als Beispiel, interpretieren Sie die Gruppen S3 und D4 als semidirekte Produkte.
• Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen (Schmiedel, 28.5.): Vergegenwärtigen Sie dem Zuhörer, warum Z6=Z3*Z2, aber nicht Z4=Z2*Z2. Stellen Sie dann die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen vor und erläutern Sie die Beweisidee. Als Beispiel, geben Sie alle abelschen Gruppen mit 72 Elementen bis auf Isomorphie an.
• Matrixgruppen (Schuck, 4.6.): Definition der Matrixgruppen GL(n,F), SL(n,F), O(n,F) für einen beliebigen Körper F. Berechnen Sie als Beispiel die Gruppe GL(2,F) für den endlichen Körper Z2 und Z3 und versuchen Sie sie mit bekannten Gruppen zu identifizieren. Beweisen Sie eine allgemeine Formel für die Anzahl der Elemente in GL(n,F) für den endlichen Körper F mit p Elementen.
• Spiegelungsgruppen (Krause, 11.6.): Definition von Coxeter-Gruppen. Beweis, wie diese Gruppen als Spiegelungen (und damit reelle Matrizen) realisiert werden. Vorstellen der Klassifikation endlicher Coxeter-Gruppen (Beweisidee nur ganz grob). Als Beispiel, ordnen Sie die Gruppen Sn und D4 in diese Klassifikation ein. Versuchen Sie etwas zum Zusammenhang zu den Matrixgruppen zu sagen.
• Lineare Darstellungen I (Sonnabend, 11.6.): Definition von (linearer) Darstellung einer Gruppe, und von Unterdarstellung, Quotientendarstellung, irreduzibler Darstellung. Nennen Sie den Satz von Maschke über die Reduzibilität. Konstruktion, wie jede Permutationsdarstellung eine lineare Darstellung impliziert. Diskutieren Sie Darstellungen von abelschen Gruppen. Danach, geben Sie als Beispiel  die drei irreduziblen Darstellungen der S3 und zerlegen Sie die Permutationsdarstellung der S3 auf drei Punkten in irreduzible Darstellungen. Überlegen Sie, warum man jede Permutationsdarstellungen mindestens in die triviale Darstellung und eine kleinere Darstellung zerlegen kann.
• Lineare Darstellungen II (Neumann, 18.6.): Definition vom Charakter einer Darstellung und Klassenfunktionen, sowie der Charaktertafel. Charakter der trivialen Darstellung und der eindimensionalen Darstellungen. Beweis, dass Charaktere additiv sind. Nennen des Satzes, dass die Charaktere eine Basis der Klassenfunktionen liefert und des Skalarprodukts von Charakteren. Überlegen Sie eine Formel für den Charakter einer Permutationsdarstellung. Als Beispiel, berechnen Sie die Charaktertafel von S3 und D4.
• Lineare Darstellungen III (Edelmann, 25.6.): Definition vom Tensorprodukt zweier Gruppendarstellungen. Beweis, dass Charaktere in diesem Sinne multiplikativ sind. Berechnen Sie als Beispiel die Zerlegung aller Tensorprodukte der irreduziblen Darstellungen von S3 rein aus den Charakteren, dann finden Sie die Zerlegung des Produkts der 2-dimensionalen Darstellung mit sich selbst tatsächlich (als Vektorräume). Versuchen Sie etwas zum Zusammenhang mit der Spinaddition/Drehimpulsaddition in der Physik zu sagen (Clebsch-Gordan-Formel).
• Die Mathieu Gruppe (Siemer, 25.6.): Etwas zur Mathieu Gruppe als erste sporadische Gruppe, in persönlicher Absprache.