Einführung für Fachfremde

Um zu verstehen was Hopf Algebren sind, ist es zuerst einmal nötig den aus der Schule bekannten Begriff der Algebra zu verallgemeinern.

Im mathematischen Fachgebiet Algebra (wie auch Gruppentheorie), beschäftigt man sich ganz grundlegend mit verschiedenen Objekten (z.B. Haarzopf oder Rubik-Würfel-Züge), die auf ähnliche Weise wie Zahlen beim Multiplizieren verknüpft werden. Meist ist hierbei jedoch zu beachten, in welcher Reihenfolge verknüpft wird! Im Beispiel des Haarzopfes entspricht das Mal-Rechnen dem Hintereinander-Hängen von Zöpfen und dessen Umkehrung (das Geteilt-Rechnen) dem Rückwärts-Flechten. Die Objekte (also die Haarzöpfe) und die Rechenregeln (das Hintereinander-Hängen und das Rückwärts-Flechten) zusammen nennt man dann eine Gruppe, oder eine Algebra (wenn zusätzlich Addition und Vervielfachung).

 

Nun ist es Ziel, mit diesem Wissen sämtliche Gruppen oder Algebren soweit zu erforschen, prüfen und kategorisieren, bis man sich beweisbar sicher sein kann, alle gefunden zu haben. Dabei nimmt man oft zunächst einmal an, es gäbe eine noch nicht bekannte Algebra und versucht diese Annahme zu bestätigen oder widerlegen. Dies geschieht, indem man der Algebra Eigenschaften auferlegt und prüft, ob dort Beispiele möglich sind oder nicht. Somit schafft man es, Stück für Stück sämtliche Algebren abzudecken. Diese mathematische Tätigkeit nennt man "Klassifizieren". Dabei interessieren einen sowohl die "typischen" Fälle (Serien), als auch die manchmal sehr erstaunlichen Ausnahmen. Oft finden Forscher sogar neue Beispiele erst wärend der Klassifikation selbst.

Ganz konkret suche ich mit anderen Forschern die Klassifikation ganz bestimmter Algebren, die sich durch Zusatzstrukturen auszeichnen: Hopf Algebren. Anwendungen finden sich in der theoretischen Physik, so rechnen Quanten-Computer beispielsweise anstelle von normalen Zahlen mit bestimmten Hopf Algebren. Aber auch die Theorie der Knoten hat neue Impulse erhalten. Und zuguterletzt gibt es auch starke Verbindungen zu Quanten-Feldtheorien (sog. CFT's und TFT's)